普羅米修斯將火帶到人間，從此人類無需在黑暗中度過無窮長夜，進(jìn)入光明與文明的新紀(jì)元。而聲學(xué)之父克拉尼（Ernst Chladni）的聲音圖形也如同一枚火種，微光成炬、烈焰燎原，帶給現(xiàn)代物理學(xué)、生理醫(yī)學(xué)、哲學(xué)、建筑聲學(xué)、音樂理論、樂器制造、數(shù)學(xué)、音流學(xué)等諸多領(lǐng)域新的研究視角和方法論的啟發(fā)。

在往期文章中，我們講過克拉尼在聲學(xué)領(lǐng)域的重要發(fā)現(xiàn)：當(dāng)聲學(xué)之父遇到一代梟雄，月光共振了琴弦的兩端 。本期 as 將為您介紹克拉尼圖形（Chladni figure）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域引發(fā)的共振。

克拉尼聲音實(shí)驗(yàn)的基本原理來源，是德國物理學(xué)家利希騰貝格（Georg Christoph Lichtenberg）的靜電圖實(shí)驗(yàn)（Lichtenberg figures 俗稱：" 閃電花 "）：通過電擊硫磺粉，使絕緣板上的粉末形成樹狀 " 電擊雕刻的花紋 "。

克拉尼受此啟發(fā)，在光滑的銅板上均勻地灑滿細(xì)沙，于銅板的邊緣緩緩拉動小提琴弓，奇特的一幕發(fā)生了，沙子在幾秒鐘內(nèi)形成了聚散的線條花紋——克拉尼圖形就此誕生，這一刻映照出了隱形的聲音世界。

上：利希騰貝格靜電圖，下：克拉尼圖形與實(shí)驗(yàn)圖。 來源：wikipedia

1787 年，克拉尼完成了第一部聲學(xué)著作《關(guān)于聲音理論的發(fā)現(xiàn)（Entdeckungen über die Theorie des Klanges）》，并在其中記錄了這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的成果，和他繪制的大量曼妙的聲音圖形。

《Entdeckungen u¨die Theorie des Klanges》封面，1787 年，來源：wikipedia

部分克拉尼圖形，來源：《Entdeckungen über die Theorie des Klanges》

當(dāng)小提琴弓摩擦銅板使其發(fā)生彎曲形變直至共振時(shí)，板面中有保持靜止狀態(tài)的區(qū)域和振動狀態(tài)的區(qū)域，沙子在振動作用下向表面靜止的區(qū)域集中，并最終勾勒出變化多樣的節(jié)點(diǎn)線。由于彈性板振動的理論在當(dāng)時(shí)尚未出現(xiàn)，所以對聲音圖形的數(shù)學(xué)描述必須保持定性。帶著這個(gè)問題，克拉尼踏上了歐洲巡講的旅程，分享自己的聲學(xué)研究并和歐洲各國的學(xué)者進(jìn)行交流學(xué)習(xí)。

直到 1802 年，克拉尼又一突破性著作《聲學(xué)（Die Akustik）》問世，這本書的出現(xiàn)使聲學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科，書中包含了對樂器的制作、聲音的產(chǎn)生、傳播與接收理論等全新的聲學(xué)領(lǐng)域研究，匯編和評論了他在歐洲巡講中發(fā)現(xiàn)的大量聲學(xué)相關(guān)的研究成果。

《Die Akustik》封面，1802 年，來源：wikipedia

書中克拉尼對于聲音圖形的數(shù)學(xué)研究有了進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)，他根據(jù)平行于兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)線的數(shù)量對于矩形板上的圖案進(jìn)行分類。對于圓形板，他觀察到增加節(jié)點(diǎn)線與增加板面的直徑，都可以提高圓形板振動模式的頻率，即出現(xiàn)克拉尼圖形的圓形板表面的振動模式的頻率f 與圖形的直徑n和徑向節(jié)點(diǎn)線的數(shù)量m之間的關(guān)系：

對于平整的圓形板，p 大約是 2，但這個(gè)公式也可以用來描述鐃鈸、手鈴和教堂鐘的振動模式，在這類情況下，p 可以從 1.4 到 2.4 不等，其中 C 和 p 是取決于板材性質(zhì)的系數(shù)。英國物理學(xué)家瑞利（Third Baron Rayleigh）在 1894 年將這個(gè)公式命名為克拉尼定律（Chladni's law）。

但是《聲學(xué)（Die Akustik）》一書中仍沒有涉及到如何用公式推導(dǎo)出這些聲音圖形，在書的結(jié)尾克拉尼留下了這一懸而未決的數(shù)學(xué)問題：如何建立這些聲音圖形的數(shù)學(xué)模型？

1809 年，克拉尼做聲學(xué)巡講到達(dá)法國巴黎時(shí)，極其重視科學(xué)的拿破侖獨(dú)具慧眼，決定為此項(xiàng)數(shù)學(xué)研究頒發(fā)了 3000 法郎的：" 法國皇家科學(xué)院獎金 "，獎勵給 "得出克拉尼聲音圖形中彈性物質(zhì)表面振動的數(shù)學(xué)理論，并將該理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較" 的學(xué)者。

1816 年，法國數(shù)學(xué)家索菲 · 熱爾曼（Sophie Germain）以一篇題為《彈性物質(zhì)表面理論研究（Recherches sur la théorie des surfaces élastiques）》的論文，并因此成為第一位獲得法國皇家科學(xué)院獎的女性。

《表面彈性理論研究》封面，1821 年，來源：wikipedia

熱爾曼自 1809 年著手該論題的研究，于 1811 年秋天首次提交了論文，但沒有通過，評審委員會認(rèn)為 "振動的真正方程沒有建立起來"，盡管 " 提出了巧妙的結(jié)果 "。

法國皇家科學(xué)院院士、著名數(shù)學(xué)家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在這時(shí)提出，解決這個(gè)問題需要發(fā)明一個(gè)新的數(shù)學(xué)分析分支，這使所有的參賽者望而卻步，最終只剩熱爾曼一人參賽。隨后比賽被延長了兩年，熱爾曼決定再次嘗試，在 1813 年化名 " 勒布朗先生 " 并提交了第二次論文，只為避免因性別而遭受不公的對待，但由于被指出論文中仍充斥著錯誤，尤其是涉及到二重積分的部分，遂未通過評審。緊接著熱爾曼又開始了第三次嘗試，最終于 1816 年 1 月 8 日，以自己作為女性的本名 " 索菲 · 熱爾曼 " 提交了第三篇論文，獲得了特別獎。

索菲 · 熱爾曼最終的方程，來源：《表面彈性理論研究》

事實(shí)上嚴(yán)格的法國皇家科學(xué)院對最終的研究成果仍不滿意。因?yàn)殡m然熱爾曼推導(dǎo)出了正確的微分方程，但并不能非常準(zhǔn)確地預(yù)測實(shí)驗(yàn)結(jié)果，由于她用于推導(dǎo)方程的假設(shè)部分不正確，導(dǎo)致了邊界條件出現(xiàn)錯誤。

在當(dāng)時(shí)的社會環(huán)境下，一名女性會因?yàn)樗男詣e，被迫承受來自社會的壓迫與不公。索菲 · 熱爾曼自幼被剝奪了受教育的權(quán)利，但也正是她不屈不撓的強(qiáng)大毅力和對數(shù)學(xué)的極度熱愛與與執(zhí)著追求，給法國皇家科學(xué)院獎增添了熠熠光彩。

數(shù)學(xué)研究成果至此還沒有達(dá)到盡善盡美，這場 " 接力 " 仍在繼續(xù)。英國科學(xué)家惠斯通爵士（Charles Wheatstone）在 1833 年繼續(xù)嘗試使用正弦和余弦函數(shù)近似計(jì)算克拉尼圖形。他表示，在方形和矩形板面上，無論多么復(fù)雜的克拉尼圖形，都是兩組或多組同步平行振動的結(jié)果；并且通過簡單的幾何關(guān)系，使用了 "運(yùn)動疊加" 的原理，無需任何深刻的數(shù)學(xué)分析，成功地預(yù)測了特定振動模式應(yīng)產(chǎn)生的曲線。

德國物理學(xué)家基爾霍夫（G. Kirchhoff ）在 1850 年提出了正確的數(shù)學(xué)模型，將方形板上的克拉尼圖形視為雙諧波算子的特征對（特征值和相應(yīng)的特征方程）。他還設(shè)法解決了圓形板的特殊情況下的克拉尼圖形，由于圓是軸對稱圖形，這個(gè)問題更容易處理，然而對于其他形狀的板面，最難解決的就是其帶有自由邊界條件的偏微分方程的特征值問題。

瑞士物理學(xué)家沃爾特 · 里茨（Walter Bits）在 1909 年所著的開創(chuàng)性論文中提出了一種計(jì)算克拉尼圖形的方法：不直接解決偏微分方程的特征值問題（也沒有通過問題的邊界條件），而是使用能量最小化原則（Prinzip der kleinsten Wirkung）得出計(jì)算方程。

里茨的克拉尼圖形數(shù)學(xué)解法示例，1909 年，來源：Theorie der Tra~nsversalschwinnyungem eiizer quadratischen Platte mit freien Randern

在量子力學(xué)中，克拉尼圖形和其中的 "節(jié)點(diǎn)形態(tài)" 直至今日仍是科學(xué)界討論的焦點(diǎn)——因?yàn)?strong>駐波方程、亥姆霍茲方程和定態(tài)薛定諤方程之間存在著等價(jià)關(guān)系，即粒子在有反射壁的空間中自由運(yùn)動，這使得人們能夠觀察這種量子臺球（quantum billiards）。

奧地利 - 愛爾蘭物理學(xué)家薛定諤（Erwin Schrödinger）曾用克拉尼圖形的數(shù)學(xué)解法來得出對電子軌道的理解。而在不規(guī)則形成的反射壁中，通過振動板對量子混沌進(jìn)行觀察，"節(jié)點(diǎn)形態(tài)" 在不同的領(lǐng)域里也是重要的核心：在光場、地震破壞模式、甚至在視覺皮層的模式形成中皆是如此——第 368 次 Wilhelm und Else Heraeus-Stiftung 會議正是探討這些問題。

鑒于這一發(fā)展態(tài)勢，拿破侖的預(yù)言 "如果在克拉尼聲音圖形引申道路的探索方面能取得進(jìn)一步的發(fā)展，將這些成果應(yīng)用于其他領(lǐng)域也是大有用處的"，再回首，我們依舊折服于拿破侖的遠(yuǎn)見卓識。

在這面映照出隱形世界的鏡子里，展現(xiàn)的不僅是奇幻稠迭的聲音畫像，還有曼妙又秩序嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?strong>數(shù)學(xué)圖景，我們幾乎看不到幾百年的時(shí)光已悄然流逝。