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樓上傳來的 " 鋸木頭 " 聲，總是音調詭異，卻執著而堅定。

撰文 | 不周

審校 | 栗子、二七

如果說樓上有個鄰居突然開始學樂器，我想絕大多數人都希望他學的不是二胡和小提琴。畢竟這兩種樂器入門階段發出的聲音實在稱不上美妙，更不用說有些人入門總是特別的漫長。二胡和小提琴都是依靠拉動琴弓摩擦琴弦，使之震動而發聲，這與鋼鋸拉扯摩擦，從而鋸斷木頭的過程十分相像。因此，我們經常會用 " 鋸木頭 " 來比喻兩種樂器不夠優美的聲音。

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但實際上，鋼鋸本身也是一種樂器，配上一把琴弓，這個帶給我們無數噩夢的鋼片，就會搖身一變，化身為鋸琴（singing saw）。

乍看之下，鋸琴的演奏方式與二胡有些相似，都需要將樂器的底部放在腿上。鋸琴演奏者可以用雙膝夾住鋸的把手，然后一只手控制音高，另一只手拉動琴弓發聲。與鋼鋸摩擦其他物品時發出的聲音截然不同，鋸琴的琴聲悠長而空靈，聽起來還有些像女高聲。然而鋸琴的特殊之處卻不僅僅在于材料和音色。

聲音是由物體振動產生，音高則取決于振動的頻率。而幾乎所有我們熟知的樂器，都是通過調整發聲器件的長度，從而調整振動頻率來控制音調高低的。比如古箏、提琴、吉他等弦樂器是通過調節琴弦的長短控制音高；長笛、單簧管等管樂器，則是通過按鍵調節空氣柱的長短；一些具有固定音高的打擊樂器，比如編鐘，就是通過鐘體大小來決定音高。

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然而，鋸琴既沒有琴弦也沒有琴鍵，更不會有體積上的變化。那么如何能控制它的音調呢？這塊薄薄的金屬片，它調整音調的方式就是通過彎曲琴身，改變形狀。如果從側面看鋸琴，很明顯它是一條直線。當這條線發生幾何形變，彎曲成 S 形時，會出現一個拐點，被音樂家稱為 " 甜蜜點 "（sweet spot）。在甜蜜點處敲擊或用琴弓拉奏，會使鋸琴發出清晰、能持續很久且具有特定音高的聲音。而調節 S 的形態，就能改變鋸琴的音調。這一奇特的聲學特性引發了科學家強烈的好奇。今年發表在美國科學院院刊（PNAS）的一項研究中，美國哈佛大學物理系的研究人員揭示了鋸琴發聲背后獨特的數學物理特性。

如何發出美妙的聲音？

當我們敲擊一塊彈性連續介質，比如一塊金屬片時，振動會從敲擊點開始，快速擴散到整個介質一起發生振動，而后快速消散。這個過程很像是在水中扔下一塊石子，當石子觸碰到水面后，它激起的水的振動會隨著漣漪一圈圈擴散到遠處，直至消失。因此當鋼鋸平放或彎曲成 J 形時，敲擊它或者用琴弓拉奏，都會導致整個鋼片一起振動，聲音沉悶而短暫。

鋸琴只有在彎曲成 S 形，才會出現甜蜜點（sweet spot）。

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然而神奇的是，當鋸琴彎曲成 S 形時，一切都不一樣了，甜蜜點處發生的振動持久而穩定。這意味著，振動并沒有像之前一樣擴散到整個鋼鋸，而是只發生在甜蜜點局部。鋸琴此時的振動模式就像是，將石子扔進水里之后，整個水面只有石子入水點附近有波紋，波紋并沒有擴散到周圍，如此奇怪。

研究人員通過實驗發現，如果在遠離甜蜜點的地方拉奏或敲擊，或者演奏時將形狀改變為 J 形，鋸琴的聲音都會迅速地消失。而不管鋸琴彎曲的幾何形狀如何，頂部曲度大一些或者小一些都不重要，只要它是 S 形，能夠出現曲率反轉的甜蜜點，就能發生穩定而持久的局部振動模式。

我們知道，當一個面的曲率增長時，其結構強度也會隨之提升，比如我們想優雅地吃到一塊披薩的尖，就需要沿中軸線彎折它，這樣披薩尖部才不會軟塌塌地垂下去。而彎成 S 的鋸琴，上下兩個彎的曲率也都會起到類似的結構增強作用。由于曲率發生反轉，甜蜜點附近的曲率基本為零，這意味著此處平坦而柔軟，更容易發生振動。而一旦遠離甜蜜點，就會進入受曲率影響、不易發生振動的部分。這導致振動只發生在曲率為零的局部，不會擴散到彎曲的部分，從而避免沿邊緣耗散衰減，損失大部分能量，振動也因此能更加持久。

高質量的諧振器

鋸琴的局部振動模式看起來很像是受到周圍彎曲結構保護的狀態。如果用數學來描述的話，局部振動依賴于變化曲率的空間，并在空間曲率的拐點處，也就是曲率邊緣獲得了拓撲保護。而振動對于 S 的具體形狀絲毫不敏感的特性，也驗證了局部振動受到拓撲保護。這些都讓研究人員聯想到了一種內部絕緣而邊緣導電的特殊量子材料，拓撲絕緣體（topological insulators）。拓撲絕緣體無論怎樣分割，或者存在缺陷、雜質甚至外界刺激，都不會影響它內部絕緣、邊緣導電的特性，而這正是拓撲保護的結果。

而鋸琴中曲率為零的甜蜜點，本質上就和拓撲絕緣體中受拓撲保護的邊緣態類似，它充當了 S 形鋼片上下兩個彎曲部分的邊緣，只不過這個奇特的邊緣出現在了鋼片的內部。這揭示了鋸琴局部振動模式的幾何特征，而這其實與振動源、振動體的規模和材料都毫無關聯。因此它也同樣能適用于其他任何彈性連續介質材料，比如原子級厚度的石墨烯。

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由于受到了拓撲保護，鋸琴的局部振動模式在沒有持續的能量來源時，依然能持續振動很長時間，而能量幾乎只會耗散到周圍的環境中。因此這種幾何特征，也可以應用到高質量振蕩器的設計中。一些每秒振蕩數億次的微機械振蕩器常常被用作定時器，通常我們既不想它消耗太多的能量，又希望它振蕩的頻率盡可能保持恒定，所以將振蕩隔離保護起來就顯得尤為重要。這項研究正說明，與其不斷嘗試各種材料，不如通過調控幾何形狀，來實現更高質量的振蕩。

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