這一切起源于我今天看見我們家的那只柯豬躺在儲(chǔ)藏室門口，活像一大塊才烤好的面包。

它習(xí)慣性地把腳縮了起來，一眼看上去就像沒有了腳的狗狗蟲。似乎很多狗狗都喜歡變成狗狗蟲形態(tài)，因?yàn)榻?jīng)常裝可憐而不禁讓人感嘆真是好可憐的狗 …… 東西（bushi）。

當(dāng)然，狗狗蟲確實(shí)很可愛。柯基能最大程度地變成狗狗蟲還是因?yàn)樗妆P太低而且多數(shù)身（胖）寬（得）體（像）壯（豬）。假如說是一只大長腿的德國牧羊犬的話，它要變成狗狗蟲估計(jì)只能小時(shí)候略變一變——畢竟要把大長腿完全隱藏起來不出意外應(yīng)該是練過《九陽神功》之后會(huì)縮骨功的。

張無忌：你是不是覺得你很幽默？

言歸正傳，其實(shí)狗和狗狗蟲唯一的區(qū)別也就是狗有四條腿。如果把狗的四條腿給去掉，或者說，只需把四根腿骨去掉，再把松弛的皮膚拉伸拉伸，狗狗蟲就徹底誕生了。

具體形象可以參考狗狗蟲的近親面包狗和香腸狗

有人可能就要問了，啊為什么骨頭沒了多的皮肉也跟著一起沒了呢。剛才說了，要把松弛的皮膚拉伸拉伸，這個(gè)所謂的 " 拉伸 " 就是關(guān)鍵。換句話說，其實(shí)只要不在身上打個(gè)洞，狗狗蟲并不在乎自己變成了什么形狀。狗狗蟲唯一關(guān)心的是自己皮是否完整。如果還是不能理解這一過程的話，不妨看看下面的圖。

去骨，拉伸，bang，魔法讓狗狗蟲誕生了（迫真畫技）

于是我們可以得到狗狗蟲的一個(gè)特質(zhì)：狗狗蟲不關(guān)心自己的腿有多長，它只關(guān)心自己圓溜溜的身體有沒有損傷。假如說狗狗蟲能更 " 收放自如 " 一些，比如連嘴巴、尾巴也能 " 拉伸 "，那么它大可以變成——有耳朵的煩人的橙子。

靈魂畫技

如果我們把狗狗蟲的變化過程嚴(yán)格化，我們就可以得到一類操作的性質(zhì)：在連續(xù)變化物體的過程中并不關(guān)心各個(gè)部分之間的具體距離，而只關(guān)心各個(gè)部分的位置和整體的性質(zhì)，或者說，關(guān)心的是連續(xù)變化之中不變的性質(zhì)。畢竟你并沒有給狗狗蟲打洞，你也沒有讓狗狗蟲的臉上下顛倒。

經(jīng)常顛倒別人臉的一般叫做畢加索

其實(shí)在狗狗蟲之外，人們已經(jīng)做了其它很多逆天的變化操作，最著名的當(dāng)屬甜甜圈變成咖啡杯的例子。

無論是狗和狗狗蟲，還是甜甜圈和咖啡杯，有著一個(gè)術(shù)語來描述它們之間的關(guān)系：拓?fù)涞葍r(jià)。" 拓?fù)?" 這個(gè)詞你們一定聽過，至少也應(yīng)該聽說過和拓?fù)溆嘘P(guān)的著名故事 " 柯尼斯堡七橋問題 "。

柯尼斯堡現(xiàn)在是俄羅斯的加里寧格勒，精德可以落一波淚（bushi）

歐拉關(guān)于這方面的工作可以認(rèn)為是拓?fù)鋵W(xué)早期的開端。當(dāng)然嚴(yán)格來說，要研究拓?fù)渚鸵胪負(fù)淇臻g的概念。拓?fù)淇臻g的定義列舉如下（看不懂沒關(guān)系）：

設(shè) X 是一個(gè)集合，O 是一些的子集構(gòu)成的族，則 ( X,O ) 被稱為一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果有：

1. 空集和 X 屬于 O，

2. 中任意多個(gè)元素的并仍屬于 O，

3. 中有限個(gè)元素的交仍屬于 O。

X 中的元素稱為點(diǎn)，O 中的元素稱為開集。也稱 O 是 X 上的一個(gè)拓?fù)洹?/p>

至于什么是拓?fù)涞葍r(jià)，用不那么嚴(yán)格但是比較直觀的語言可以給出一種定義，即：存在幾個(gè)圖形，如果每一個(gè)可以從其余任一個(gè)圖形經(jīng)扭轉(zhuǎn)、彎曲、拉長或收縮得到而不出現(xiàn)任何重疊與斷開，則稱這些圖形拓?fù)涞葍r(jià)，這樣的變換稱為拓?fù)渥儞Q。這種變換的要點(diǎn)在于是不能改變圖形的性質(zhì)，例如不能把光滑的曲面變出棱角，也不能在沒有洞的表面打個(gè)洞。所以即使都是一個(gè)整體，《Minecraft》的史萊姆和《泰拉瑞亞》的史萊姆就不可能是一家子——畢竟正方體和一坨光溜溜的還是有本質(zhì)區(qū)別的。

綠豆糕和紅豆團(tuán)子（bushi）

在進(jìn)行變換的時(shí)候，拓?fù)涞葍r(jià)的圖形具有相同的性質(zhì)。舉個(gè)例子，甜甜圈洞的數(shù)量就是一個(gè)性質(zhì)。假如說一個(gè)圖形看起來很復(fù)雜，但是如果只是研究這些不變的性質(zhì)的話，我們完全可以做變換之后讓它變得簡單，或者說和我們已知的圖形一致。那么在經(jīng)典物理領(lǐng)域，什么東西的形狀是最為復(fù)雜的呢？按照愛因斯坦的想法，那自然是宇宙啦。（手動(dòng)狗頭）

當(dāng)然不排除是魯迅說的

宇宙的問題就在于它太大了，大到?jīng)]有邊邊。老愛的廣義相對論說，宇宙是個(gè)偽黎曼流形，局部等價(jià)于平直的閔可夫斯基時(shí)空。然鵝就算是閔可夫斯基時(shí)空也太大了，難以把握。但是眾所周知賣酒的水太深，嘎子把握不住但是潘叔可以。能把握宇宙的人也有，那就是羅杰 · 彭羅斯。

羅杰 · 彭羅斯（1931.8.8-），英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家，獲得 2020 年諾貝爾獎(jiǎng)。

為了方便研究整體時(shí)空的拓?fù)洌砹_斯引入了著名的彭羅斯圖，通過變換之后仍然保持變換前的因果性——只是變換之前一般要對原時(shí)空做一點(diǎn)小小的手腳，即在坐標(biāo)變換下進(jìn)行最大解析延拓。至于什么是解析延拓，簡單來說就是一個(gè)函數(shù)在擴(kuò)大定義域之后，對應(yīng)擴(kuò)充的函數(shù)需要在連接處光滑且連續(xù)。可以證明，解析延拓是存在且唯一的。閔可夫斯基時(shí)空較為簡單，可以不需要進(jìn)行解析延拓。取球面度規(guī)：

特定的坐標(biāo)變換：

可將度規(guī)寫成：

由于實(shí)際上的參數(shù) r 并不能取到負(fù)值，時(shí)空只能是新坐標(biāo)系中的一部分，所以它的彭羅斯圖長這樣：

閔可夫斯基時(shí)空的彭羅斯圖上邊界和交點(diǎn)代表了不同意義的無窮遠(yuǎn)（r=0 這個(gè)邊界是個(gè)例外），由于變換采取的是共形變換——共形變換并不是拓?fù)渥儞Q，只是在彭羅斯圖中這兩者一致——這些邊界和交點(diǎn)也被稱作 " 共形無窮遠(yuǎn) "。實(shí)際上由于無窮遠(yuǎn)代表的是一種趨勢而并非具體值，所以無窮遠(yuǎn)并不在時(shí)空內(nèi)部，這些邊界和交點(diǎn)也不能算彭羅斯圖的一部分，這樣才能算保持了拓?fù)湫再|(zhì) *。在變換之后的彭羅斯圖里，因果性得到保留，測地線在重新選擇參數(shù)之后仍然是測地線。由于一個(gè)二維的平面圖肯定不能反映一個(gè)四維的時(shí)空，因此彭羅斯圖內(nèi)的每一點(diǎn)實(shí)際上都是一個(gè)二維球面。

實(shí)際上閔可夫斯基時(shí)空的彭羅斯圖可以繼續(xù)延拓成上圖，只不過延拓之后的時(shí)空稱為愛因斯坦靜態(tài)宇宙，和閔可夫斯基時(shí)空的拓?fù)渚筒灰粯恿恕?/p>

那這會(huì)兒就有人要問，啊這是閔可夫斯基的平直時(shí)空，彎曲的黎曼時(shí)空怎么辦呢？不如來看一個(gè)著名的例子：史瓦西時(shí)空。

卡爾 · 史瓦西與史瓦西解，該解描述一個(gè)靜止的、不帶電的、球?qū)ΨQ的天體外部的引力場。

首先同樣經(jīng)過一些奇奇怪怪的坐標(biāo)變換（過程太復(fù)雜就不放上來了），我們同樣從球度規(guī)變換到了一個(gè)新的度規(guī)：

這個(gè)度規(guī)稱為克魯斯卡爾度規(guī)，坐標(biāo) T 和 R 被稱作克魯斯卡爾坐標(biāo)。最大延拓意味著 T 和 R 這兩個(gè)參數(shù)都可以取到整個(gè)實(shí)數(shù)集。實(shí)際上由于存在奇點(diǎn) r=0 和無窮遠(yuǎn)，延拓后的時(shí)空只是克魯斯卡爾坐標(biāo)系的一部分。在此基礎(chǔ)上，同樣可以畫出時(shí)空延拓之后的彭羅斯圖。

克魯斯卡爾坐標(biāo)系里的最大延拓史瓦西時(shí)空（左）和彭羅斯圖

彭羅斯圖中的Ⅰ區(qū)是原始的時(shí)空區(qū)域（黑洞之外的），Ⅰ’區(qū)是時(shí)間反演區(qū)。Ⅱ區(qū)和Ⅱ’區(qū)分別稱為黑洞區(qū)和白洞區(qū)，它們中間的連接點(diǎn)稱為 " 喉 "，也被稱作蟲洞（就是營銷號經(jīng)常會(huì)提到的那個(gè)蟲洞）。

我打賭你已經(jīng)無數(shù)次聽說過蟲洞，但是應(yīng)該沒想到這玩意兒能在這里出現(xiàn)。

這樣通過保持拓?fù)涞淖儞Q，一個(gè)很大很大的時(shí)空就被限制到一個(gè)六邊形里，時(shí)空的因果仍然得到保留，對于接近無窮遠(yuǎn)處甚至奇點(diǎn)的事情也能指著一個(gè)點(diǎn)說出它的演化趨勢了。即使對于更復(fù)雜的時(shí)空，例如史瓦西 - 反德西特時(shí)空、克爾時(shí)空等等，彭羅斯圖仍然能夠大大簡化時(shí)空的圖像——因?yàn)榭藸柦獾淖畲笱油乇旧硎鞘蛛y以畫出來的——并很好地描述時(shí)空本身，不得不說是十分有力的工具。

自上而下：史瓦西 - 反德西特（Schwarzschild- ( anti- ) de Sitter）時(shí)空的彭羅斯圖、雷斯勒 - 諾斯特朗姆（Reissner-Nordström）時(shí)空不同情況下的彭羅斯圖、克爾 - 紐曼（Kerr-Neuman）時(shí)空不同情況下的彭羅斯圖

當(dāng)然，彭羅斯圖只是拓?fù)涞葍r(jià)關(guān)系在物理里的一小點(diǎn)應(yīng)用而已。此外凝聚態(tài)理論里有能帶拓?fù)洌孔訄稣摾镉型負(fù)鋱稣摰取？梢韵胍娡負(fù)溲芯课锢肀厝皇菢O為有力的工具。

PS：養(yǎng)狗要注意體重哦，我們家的已經(jīng)開始鍛煉了，大家不要催啦 ~~~

*：此處根據(jù)梁燦彬老師的說法，無窮遠(yuǎn)和奇點(diǎn)不作為彭羅斯圖的一部分。也有一些老師，例如高能所的黃超光老師，將其視作彭羅斯圖的一部分，那么討論拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)需要去掉。